ESPACE-TEMPS ET NOMBRES PREMIERS /SPACE-TIME AND PRIME NUMBERS

Alain Connes – Ce que j’essayais de faire dans mon exposé, c’était… d’exciter la curiosité… surtout des jeunes qui étaient présents, et qui hésitaient peut-être à s’engager dans les maths pures ou même dans les relations entre maths et physique, en essayant de leur expliquer comment, justement, y a des problèmes absolument fondamentaux qui sont bien loin d’être résolus, et qui impliquent des objets qu’on peut définir de manière intuitive, qu’on peut ressentir de manière intuitive, l’un c’est l’espace-temps, bon, quelque chose de relativement simple à comprendre, et l’autre, c’est, disons, l’ensemble des nombres premiers ; alors l’ensemble des nombres premiers, bien sûr pas seulement comme un ensemble, mais dans la manière dont il est situé au milieu des nombres, des nombres réels, c’est encore très, très mystérieux, et dans les deux cas, aussi bien dans le cas de l’espace-temps que dans le cas des nombres premiers, le fait qu’ il y ait des problèmes absolument fondamentaux, qui ne sont pas encore résolus, ni dans un cas ni dans l’autre, c’est-à-dire dans le cas de l’espace-temps, le problème fondamental qui est bien connu, mais il est bon de l’expliquer un peu en détails, c’est le problème de la compatibilité entre les deux grandes théories, qui sont la théorie de la gravitation, d’Einstein, et la mécanique quantique…

Même dans l’espace, ça a pris énormément de temps de comprendre qu’il y avait une structure sous-jacente, qui était beaucoup plus structurée qu’on ne pouvait penser, alors ça, ça a été compris, bon, ben, bien sûr on connaît bien l’histoire, avec Galilée, Kepler, Newton, etc., et lorsqu’on a compris que justement les paraboles que décrit un objet lorsqu’on le lance, c’est aussi des ellipses et que les planètes tournent avec des ellipses, etc., donc il y a des lois générales qui sont fascinantes, et qui sont pas du tout évidentes ! C’est-à-dire qu’au départ, lorsqu’on regarde l’espace, l’Univers, etc., on n’a pas du tout l’impression que ce soit structuré, et c’est la même chose pour les nombres premiers, c’est-à-dire que les nombres premiers, lorsque on s’amuse à calculer les premiers nombres premiers, etc., on ne s’aperçoit pas du tout du fait qu’il y a une harmonie sous-jacente, très, très profonde, et qui justement est la relation entre – qui a été découverte par Euler, puis Riemann, Tchebychev, etc. – qui est la relation entre justement la distribution des nombres premiers et les zéros d’une certaine fonction, qui est une fonction très, très naturelle, analytique, qui a un tas de bonnes propriétés ; alors ce qui est absolument étonnant dans ces deux cas, c’est que, en fait, les problèmes, bien sûr, sont intéressants en eux-mêmes, mais ils sont surtout intéressants par le fait qu’ils génèrent un nombre considérable d’idées et qu’ils font évoluer, chacun d’entre eux, et peut-être de manière convergente entre les deux problèmes, la notion d’espace géométrique… Mais en tous les cas, ces problèmes-là ont une vertu incroyable, qui est de créer une dynamique, c’est-à-dire de créer un moment vers un but…

3 min 09 sec

Alain Connes – What I was attempting to do in my talk was… to excite the curiosity mostly of the young people who were there, and who might have been hesitant to devote their life to pure mathematics or even to the relations between maths and physics, by trying to explain how, precisely there are absolutely fundamental problems which are very far from being solved and which involve objects which can be perceived in an intuitive manner. The first is space-time which is relatively simple to perceive, and the second is the set of prime numbers, of course primes not just as a set but in the manner in which they fit inside numbers, inside real numbers. This is still very, very mysterious and in both cases, the case of space-time as well as the case of prime numbers, the fact that there are absolutely fundamental problems which are not yet resolved, neither in one case nor in the other. I mean in the case of space-time the fundamental problem which is well known but which deserves more detailed explanations is the problem of the compatibility between the two main theories: Einstein’s gravitation and Quantum Mechanics.

Even concerning space, it took an enormous amount of time to understand that there is an underlying structure which is much more refined than what one would naively expect. Here of course you know the story with Galilée, Kepler, Newton, etc., and the understanding that the parabolas followed by an object one throws in the air are of the same family as the ellipses, that the trajectories of the planets are ellipses etc and that there are fascinating general laws which are far from obvious! What I mean is that, at the start, when one contemplates space, the Universe, etc, one does not at all get the feeling that it is structured. And this is the same for primes I mean for prime numbers. When one plays with prime numbers and computes the first ones, one does not perceive at all an underlying harmony. This very very deep underlying harmony was discovered by Euler, Riemann, Tchevychev, etc., and is the relation between precisely the distribution of prime numbers and the zeros of a certain function which is very very natural, analytic and possesses a great number of good properties; so what is absolutely striking in these two examples is that, in fact, these problems, of course, are interesting in themselves, per-se, but also because they generate an incredible number of ideas and that they slowly modify, each of them, and possibly in a convergent manner between the two problems, the notion of geometric space…But in all cases these problems have a great virtue, which is to create a momentum, a dynamics, towards a difficult goal.

3 min 09 sec