GROMOV’S QUESTION / LA QUESTION DE GROMOV

John Pardon – Au lycée, j’ai passé beaucoup de mon temps libre à lire des maths, sur Internet ou dans les livres de la bibliothèque de mon père. Un jour, je suis tombé sur un problème posé par un célèbre mathématicien russe, Gromov, qui travaillait à Paris. C’est le genre de problème extrêmement simple à énoncer, mais qui semble refléter quelque chose de fondamental qui reste encore à comprendre. La théorie mathématique des nœuds trouve en fait son origine dans la physique. Dans les années 1800, Lord Kelvin avait proposé une théorie des atomes où les atomes étaient tous de petits nœuds et où les différents types de nœuds correspondaient aux différents éléments de la classification périodique. Quelques années plus tard un physicien écossais, Tait, a établi un tableau des nœuds les plus simples, en commençant par le nœud de trèfle et poursuivant avec des nœuds plus compliqués. Mathématiquement, un nœud est une boucle fermée dans un espace tri-dimensionnel. La corde étant infinitésimale, vous pouvez notamment créer une quantité infinie de nœuds. Mais si vous prenez le premier bout de cordage venu, le nombre de nœuds possible devient fini… C’est quelque chose qu’on peut prouver, juste en y réfléchissant, sans avoir à établir la moindre équation… En fait, c’est vrai parce que la corde a une longueur finie et une épaisseur finie. Ceci est un exemple de comment la géométrie, à savoir la longueur et l’épaisseur de la corde, commande la topologie, le type de nœud qu’on peut nouer… La question de Gromov portait sur une autre grandeur géométrique, appelée distorsion, demandant si l’on pouvait nouer tous les nœuds avec une limite fixe de distorsion…

Bien des années plus tard, vers la fin de mes études de premier cycle, j’ai passé un été à voyager en Angleterre et alors que j’étais à Bath, je me souviens distinctement qu’en marchant dans le jardin botanique de Bath, le Royal Victoria Park, j’ai réalisé qu’il y avait moyen d’utiliser la distorsion pour contrôler la topologie d’un nœud. Il n’est pas difficile de voir que le contrôle de la distorsion détermine le nombre d’intersections entre un nœud et certaines surfaces sécantes. Un peu plus subtilement toutefois, le nombre d’intersections entre le nœud et certaines des surfaces de l’espace peut servir à déterminer le caractère topologique du nœud.

Marcher dans la nature, prendre de l’exercice, incite vraiment le cerveau à trouver un tas d’idées nouvelles et en fait, après avoir terminé de réfléchir à ce problème de distorsion, j’ai commencé à m’intéresser à un autre problème, portant sur les symétries dans un espace tri-dimensionnel, si les groupes de symétrie dans un espace tri-dimensionnel doivent être continus ou s’ils peuvent être discontinus, complètement déconnectés, discrets… L’idée maîtresse pour résoudre ce problème m’est venue après être allé courir près de chez moi, en Caroline du Nord… Rappelez-vous Tait et ses tableaux de nœuds… Il avait fait tout un tas d’observations empiriques sur les nœuds à partir de ses tables, des conjectures qui n’ont été prouvées qu’au bout de plus d’un siècle, dans les années 1990, quand des invariances de nœuds du type polynôme de Jones ont été découvertes… Qui plus est, ces conjectures, qui trouvaient leur origine dans une théorie physique dont on sait aujourd’hui qu’elle était complètement fausse, ont été résolues par de nouvelles invariances, dont on a vu plus tard qu’elles étaient très étroitement liées, en physique moderne, à la théorie des champs quantiques… Et quelque part ça a vraiment favorisé le développement d’un nouvel intérêt pour la théorie des nœuds, dans une relation avec la physique que nous commençons à peine à comprendre…

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John Pardon – In high-school I spent a lot of my free time reading maths online and from books on my Dad’s bookshelf. One day I came across a problem posed by a famous Russian mathematician, Gromov, working in Paris. This is the type of problem which is completely elementary to state, but seems to be expressing something fundamental which has yet to be understood. The mathematical theory of knots actually has its origins in physics. In the1800s, Lord Kelvin had a theory of atoms which proposed that different atoms were all small knots and the different knot types correspond to the different elements in the periodic table. Some years later a Scottish physicist, Tait, tabulated the simplest knots, starting with a knot, a Trefoil, and going on to more complicated knots. Mathematically, a knot is a closed loop in three-dimensional space. And the string that’s tied up is infinitesimal, in particular you can tie infinitely many possible knots… If you take any particular physical piece of rope though, the number of knots you can tie is finite… This is something you can prove by pure thought without writing down any equations… It’s essentially true, because the length of the rope is finite and has a definite thickness. And this is an example of how geometry, namely the length, and the thickness of the rope, can control the topology, what type of knot you can tie… Gromov’s question was about another geometric quantity called distortion, and asked whether you can tie all knots with a fixed bound on the distortion…

Many years later, between junior and senior years of undergraduate, I spent the summer travelling in the UK, and when I was in Bath, I remember very clearly I was walking in the botanical gardens at Royal Victoria Park, and I realized there was a way to use distortion to control the topology of a knot. It’s not so difficult to see that controlling the distortion controls the number of intersections between a knot and certain surfaces intersecting the knot. Something a little bit more subtle though, is that the number of intersections between the knot and certain surfaces in R3 can be used to control the topological type of the knot.

Walking in nature and exercising definitely stimulates the brain to come up with lots of new ideas, and in fact after I finished thinking about this problem on distortion, I became interested in another problem, about symmetries of three-dimensional space! And whether symmetric groups of three-dimensional space have to be continuous or whether they can be discontinuous, completely disconnected, discrete… And a key idea of how to address this problem came to me after going for a run near my home in North Carolina… Remember Tait who tabulated knots… So he made a lot of empirical observations about knots, from the knot tables, and these conjectures weren’t proven until over a hundred years later in the 1990ties, when new knot invariance such as the Jones’ polynomial were discovered… Moreover these conjectures, which had their origins in a physical theory which we now know to be completely wrong, were actually solved by new invariance, which were later found out to have a very close connection to modern physics, quantum field theory… And it sort of really stimulated a lot of new progress and interest in knot theory and the connection to physics, which at the moment we are only beginning to understand…

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